Hijo de Jerónimo Briceño de Mendoza (1529–1590), corregidor y general de los puertos de Asturias, y de Micaela de la Cueva (fallecida en 1596), hija de Jerónimo de la Cueva, capitán de Almería y comendador de Carrizosa.
Sus hermanos Jerónimo y Cristóbal, capitanes, fallecieron jóvenes, heredando Íñigo el mayorazgo familiar. Apadrinado por el marqués de Mondéjar, capitán general del reino de Granada, inició una brillante carrera militar.
Su cursus honorum fue fulminante:
Uno de los sucesos más espinosos que afrontó fue el asalto turco a Adra (1620). A él se debe el levantamiento del primer plano conservado de Almería por Juan de Oviedo (1621), realizado tras inspeccionar la costa para mejorar el sistema defensivo.
Casado con María de Bazán y Guzmán, natural de Guadix, adquirió en 1627 el señorío de Villanueva de las Torres de Alicún por 3.200 ducados.
Falleció en 1629. Sus descendientes continuaron la tradición militar:
Por su trascendencia en Almería, debe mencionarse que la falta de sucesión directa en el mayorazgo determinó la ejecución de las cláusulas testamentarias de Jerónimo Briceño de Mendoza y su esposa: la fundación de cuatro obras pías y un convento. Se creó el primer monte de piedad de Almería, con mil fanegas de trigo para los pobres, dotaciones para casar huérfanas y rescatar cautivos, y la entrega anual de mantos a mujeres honradas. Con el resto de bienes se fundó un monasterio femenino de la Orden de Santa Clara.
Su trayectoria refleja:
Íñigo Briceño de la Cueva fue un destacado militar y gobernador del siglo XVI y siglo XVII. Su papel en la defensa de la costa granadina, su impulso a la cartografía de Almería y la fundación de obras pías lo convierten en una figura clave de la historia almeriense.